Định lý đường trung tuyến trong tam giác là một trong những định lý quan trọng trong hình học phẳng. Theo định lý này, trong một tam giác bất kỳ, đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện. Định lý đường trung tuyến phát biểu rằng bình phương độ dài của một đường trung tuyến bằng nửa tổng của bình phương hai cạnh kề đỉnh đó trừ đi một phần tư bình phương cạnh còn lại. Cụ thể, với tam giác ABC có đường trung tuyến AM từ đỉnh A tới trung điểm M của cạnh BC, thì ta có hệ thức: AM^2 = (1/2)(AB^2 + AC^2) - (1/4)BC^2.

Ý nghĩa của định lý này không chỉ dừng lại ở việc cung cấp một công thức tính toán độ dài đường trung tuyến, mà còn giúp làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các thành phần cấu tạo nên tam giác. Định lý góp phần giải quyết các bài toán hình học phức tạp khi biết trước chiều dài các cạnh hoặc đường trung tuyến. Thông qua công thức trên, ta có thể dễ dàng xác định được vị trí tương đối giữa các đường trung tuyến, đồng thời áp dụng vào việc chứng minh các kết quả đặc biệt trong tam giác, chẳng hạn như tính chất của trọng tâm – giao điểm ba đường trung tuyến, và quan hệ giữa các cạnh của tam giác với đường trung tuyến ứng với mỗi cạnh.

Trong thực tế giải toán, định lý đường trung tuyến là công cụ hữu hiệu để chuyển đổi giữa các thông tin về cạnh và đường trung tuyến của tam giác. Khi biết trước tổng độ dài các cạnh và một hoặc hai đường trung tuyến, ta có thể tìm ra các cạnh hoặc đường trung tuyến còn lại mà không gặp phải khó khăn về mặt đại số. Bên cạnh đó, định lý này còn mở rộng ứng dụng đối với các vấn đề liên quan tới diện tích tam giác, các bài toán tọa độ trong không gian, cũng như việc xây dựng các hình học phức tạp hơn như tứ giác, đa giác theo nguyên lý chia góc hoặc chia cạnh. Nhờ có định lý đường trung tuyến, bài toán phân chia hình phẳng và xác định vị trí các điểm đặc biệt trong tam giác trở nên dễ dàng và trực quan hơn rất nhiều.